C'est la série des termes d'une suite géométrique.Intuitivement, une série géométrique est une série avec un ratio constant des termes successifs. Soit $N\geq 1$. Montrer que $\prod_n(1+u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum_n \ln(1+u_n)$ converge. \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} $$\frac{b_{n+1}}{b_n}\leq \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$
pas non plus vers 0, et donc la série $\sum_n u_n^\alpha$ diverge; ou bien $(u_n)$ converge vers 0. $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq l+\varepsilon.$$
$\sum_n u_n^2$ est donc convergente, et d'après la question précédente, il en est de même du produit infini $\prod_n (1+u_k)$. $$\sum_{n\geq 1}nr^n=\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$$
Soit $n$ arbitrairement grand. $$0\leq S-\sum_{n=1}^N a_n\leq \veps.$$
$$f'(t)=\frac{\frac{t}{2\sqrt t}\cos(\sqrt t)-\sin(\sqrt t)}{t^2}=_{+\infty}O\left(\frac1{t^{3/2}}\right).$$
L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques 1 Enoncés Exercice 1 Soient ∑ an et bn deux séries à termes strictement positifs véri ant : 9n 2 N: 8n n ; an+1 an bn+1 bn Montrer que (1) si ∑ bn converge, alors an converge; (2) si ∑ an diverge, alors bn diverge. 2. élémentaire de la divergence de la série harmonique). Pour calculer une expression du type 9+6*x+5+8*y pour x et y donnés.Il faut remplacer x et y par les valeurs données puis effectuer les calculs Exercices corriges - Développements limités, équivalents et calculs de limites. &\leq&(l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}. Puisque $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes, elles convergent
$$\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\geq1.$$
Puisque $u_0=1$, il suffit de démontrer
On a $0\leq a_n \leq \frac{a_N}{b_N} b_n$ et la série $\sum_n b_n$ converge. Puisque la suite $(u_n)$ décroit vers 0, il existe un entier $n$ tel que, pour tout $k\leq p$,
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}\to l.$$, Soit $(u_n)$ une suite à termes positifs telle qu'il existe $a\in\mathbb R$ vérifiant
\begin{eqnarray*}
$$u_n\leq (l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}.$$. Les fonctions $g:x\mapsto f(e^{-x})$ et $h:x\mapsto \frac1xf\left(\frac 1x\right)$ sont décroissantes et positives. Notons $p_n=\prod_{k=0}^n (1+u_k)$. D'après la formule donnant la somme d'une suite géométrique (de raison $-x$ ici, avec $-x\neq 1$) on a
D'après la question précédente, on a $0\leq u_n\leq (l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}$. Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a
Sa dérivée est $x\mapsto 1/(1+x)^2\geq 0$, donc la fonction est croissante. Utiliser $\sum_{n=j}^N \frac{1}{n(n+1)}=\frac1j-\frac1{N+1}$. Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962). Montrer que les séries
à $-u_n^2/2$ qui garde un signe constant. Faire un développement du logarithme avec deux termes. Il suffit de démontrer que la suite des sommes partielles est majorée. Exercice 2 Soient et deux réels. Alors $R_n$, somme d'une série alternée dont le premier terme est négatif, est négatif. On en conclut que $\sum_n u_n$ est convergente. Ceci prouve bien, par le critère de Cauchy, la
pour tout $N\in\mathbb N$, il existe $n\geq N$ tel que $u_n\geq \veps$ (rappelons que $u_n\geq 0$). De plus, f n(0) = 0; 8n2N . La série de fonctions ]converge uniformément sur tout intervalle [ (voir 1.) &=&\exp\left((n+1)\ln\left(1+\frac1{n+1}\right)\right)\times e^{-1}. et $\int_1^{+\infty}h(t)dt$. Démontrer que $\sum_n a_n$ diverge. On obtient
On dit que le produit infini
Ensuite, évaluer $\sum_{k=n}^b b_k$ où $n$ est arbitrairement grand
$$\left(\frac{\ln n}{\ln n+\ln(1+1/n)}\right)^b=1+O\left(\frac1{n\ln n}\right).$$
Pour $n\geq 1$, on pose $T_n=\sum_{k=1}^n u_k-nu_n$. $$\ln(1+u_n)=u_n-\frac{u_n^2}2+o(u_n^2).$$
$$(a_1\dots a_n)^{1/n}\leq \frac{a_1+2a_2+\dots+na_n}{n(n! Donc, pour $n$ assez grand, $\frac{a_{n+1}}{a_n}-\frac{b_{n+1}}{b_n}$ est du signe de $\frac{\alpha-\beta}n$, c'est-à-dire est négatif. On suppose $a>1$. Soit $f:[1,+\infty[\to\mathbb C$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f'$ est intégrable sur $[1,+\infty[$. Puisque d'après la question précédente, $Nv_{N+1}\to 0$, on en déduit, en faisant tendre $N$
Ainsi, on a
et on note $S_n=a_0+\dots+a_n$, $b_n=a_{n+1}/S_n$. Chapitre 1 Série numérique 1.1 Rappels sur les suites numériques Définition1.1.1.1 Unesuitenumérique(u n) n∈N (ousimplement(u n))estuneapplicationudeN dansC.L’imagedenestlen−ièmetermedelasuite. Montrer que la série de terme général (−1)n 3n+1 converge et que X∞ n=0 (−1)n 3n+1 = Z1 0 dx 1+x3. Puisque la série $\sum_n u_n$ converge, la suite $(u_n)$ converge vers zéro. |nv_n|&=&n\left|\sum_{k=n}^{+\infty} u_k\right|\\
mais il est aussi facile d'écrire des bêtises! Écrivons encore cette dernière égalité en regroupant les termes différemment :
$$S_N \leq \frac{a_p u_p}A+S_p.$$
De même, la croissance de $(v_n)$ assure que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $v_n\leq \ell$. assez grand,
Exercice 10. F. On dit que f est surjective si tout el ement de Sorry, preview is currently unavailable. On suppose que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right).$
Intégrons cette inégalité entre $0$ et $1$. D'après les deux questions précédentes, on a
En regroupant toutes ces informations et en utilisant l'inégalité triangulaire, on conclut
On définit alors la suite
$$T_n\leq C.$$
$$\sum_{k=p_N}^{2p_N}u_k=S_{2p_N}-S_{p_N-1}\to 0.$$
$$\sum_{n=p}^q u_n\leq\sum_{n=p}^q v_n\leq \sum_{n=p}^q w_n,$$ on tire
\end{eqnarray*}
Or, pour tout $t\in [n,n+1]$, on a
On va déjà prouver que l'on est dans les conditions d'application du résultat précédent. Quelle
\end{eqnarray*}. \sum_{j=1}^N \frac j{N+1}a_j&=&\sum_{j=1}^{N_0} \frac j{N+1}a_j+\sum_{N_0+1}^N\frac j{N+1}a_j\\
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} Exercices corrigé dans Analyse NumériqueExercice 1 : une approximation de ( ). $$u_n=\int_n^{n+1}\big(f(t)-f(n)\big)dt.$$ Il vient
Remplacer $u_{n+1}/u_n$ par son développement limité... La série de terme général $w_n$ converge. Démontrer que la série de terme général $u_n$ est convergente. Fixons maintenant $\veps>0$. Démontrer que $\sum_n u_n$ est absolument convergente. Si on fixe $x=A$ et si $y=n$ est un entier, on obtient que
Ainsi, on trouve le même résultat, alors que la série de terme général $u_n$ est parfois convergente, parfois divergente. On va minorer
$$a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}\leq 0.$$
Alors on a
|R_{n+1}|-|R_n|&=&\sum_{k=n+2}^{+\infty}(-1)^{k} u_k+\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k u_k\\
Faire de même pour la série $\sum_n v_n$. Prouver qu'il existe une suite $(b_n)$ positive et qui converge vers 0
En notant $p_N$ l'entier $p$ construit pour le choix de $N$, la suite $(p_N)$ tend vers $+\infty$, et on a pour tout entier $N$,
En déduire que $R_n\sim_{+\infty}\frac{(-1)^{n+1} u_n}2.$. On suppose que la série $\sum_n u_n^2$ converge. Corrigé de l'examen du 10 Mai 2007. proche de la valeur donnée par l’alimentation du circuit. Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de réels strictement positifs. On note $\ell$ sa limite. La suite $(u_n)$ est décroissante de limite $\ell$. $$Au_{n+1}\leq a_nu_n-a_{n+1}u_{n+1}.$$
Posons $u_n=\left(\frac{n+1}e\right)^n\times\frac{1}{n!}$. Montrer que $\prod_n(1+u_n)$ est convergent si et seulement si
&\leq&\sum_{k=n}^{+\infty}n|u_k|\\
Il suffit alors d'appliquer le résultat de la première question. Montrer que $w_n=O\left(\frac1{n^2}\right)$. Pour $u_n=1$, $u_{n+1}/u_n=1$ et $\sum_n u_n$ diverge. $u_n$ converge puisque la série de terme général $v_n$ converge. $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{\ln (n)}{\ln(n+1)}\right)^b=\left(1-\frac1n+o\left(\frac1n\right)\right)\left(\frac{\ln (n)}{\ln(n)+\ln(1+1/n)}\right)^b.$$
La question précédente prouve que la série de terme général $w_n$ converge. et on devrait avoir
Commencer en écrivant que
Enter the email address you signed up with and we'll email you a reset link. Démontrer la convergence de l'intégrale en faisant un changement de variables.... On écrit que
}\times\left(\frac e{n+1}\right)^n\times n!\\
De l'inégalité
On a $(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})^2\geq 0$ ce qui prouve que $0\leq \sqrt{u_nv_n}\leq \frac12\left(u_n+v_n\right)$. \[T_n=\sum_{k=1}^p (u_k-u_n)+\sum_{k=p+1}^n (u_k-u_n). ce qui est le résultat annoncé. Il suffit de démontrer que la suite des sommes partielles $(S_n)$ est majorée. On a convergence absolue, car à partir d'un certain rang, $|u_n|\leq 2/n^2$. $$\sum_{n=1}^{+\infty}v_n=\sum_{n=1}^{+\infty}nu_n.$$, Posons $u_n=r^n$. On en déduit que
$$\sum_{k=n}^p b_k=\sum_{k=n}^p\frac{a_{k+1}}{S_k}\geq \sum_{k=n}^p \frac{a_{k+1}}{2S_n}=\frac{S_{p+1}-S_n}{2S_n}\geq
On fait un raisonnement similaire, mais en choisissant cette fois $\alpha\in ]\beta;1[$. $$\frac{u_{n+1}}2\leq |R_n|\leq \frac{u_n}2.$$
Exercices corrigés indices pdf. Soit $\alpha>0$ et $b_n=\frac1{n^\alpha}$. C'est un simple développement limité. ce qui peut se réécrire en
est bien équivalente à la convergence de la série $\sum_n \ln(1+u_n)$. Maintenant, la série alternée converge par application du critère P 2n + 1 spécial des séries alternées, et la série vn , à terme général de signe constant, converge P elle aussi (série de Riemann). Indices el ementaires Indices synth etiques Propri et es Circularit e ou transf erabilit e Proposition Si une grandeur num eriques V prend les valeurs V 0, V t et V t0 aux instants 0;t;t0alors I t=0 = I t=t0 I t0=0 1 100 Remarque : on peut conna^ tre l' evolution de 0 a t connaissant les evolutions de 0 a t 0et de t a t. On en déduit que $a_nu_n\geq a_pu_p$, et donc que
Il existe un entier $N_0$ tel que, pour tout $q\geq p\geq N_0$, on ait
Concrètement, avec des quantificateurs, cela se traduit comme suit. On distingue deux cas : si $(u_n)$ tend vers 0, alors $u_n\sim_{+\infty}v_n$, et ces deux suites sont positives. Distinguer les cas $u_n\to 0$ et $(u_n)$ ne tend pas vers 0. $$\ln 2=S_n+(-1)^{n+1}I_n.$$
et que $\sum u_n$ est divergente. Par le changement de variables $u=\sqrt t$, on a
Si $u_n>0$, et si la série $\sum u_n$ converge, alors la série de terme général $u_n^2$ converge. 2.Pour n > 2, on pose u n = 1 n+( 1)n p n. 8n > 2, u n existe et de plus u n ˘ n!+¥ 1 n. Comme la série de terme général 1 n, n>2, diverge et est positive, la série de terme général u n diverge. et si . Mais alors, d'après la première
Exercice 1.1.2 Soit f: E ! avec $C=\frac{u_{n_0}}{v_{n_0}}$. Un premier résultat est : Théorème 2. Posons $p=\lfloor q/2\rfloor $, de sorte que $p\geq N$ et $2p-p\geq \frac q2-1$. \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} Démontrer que la série
$q\geq 2N$ avec $qu_q\geq \veps$. Dans ce cas, la suite $(u_n^\alpha)$ ne converge
Ainsi, par comparaison, la série de terme général $u_n$ diverge. Montrer que la suite $u_n=\left(\frac{n+1}e\right)^n\times\frac{1}{n! Par exemple, la série On va comparer à une intégrale chaque terme $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$. En déduire que la suite $(S_n)$ est convergente. 1. $$u_{n+1}\leq 2|R_n|\textrm{ et }2|R_{n+1}|\leq u_{n+1}$$
Démontrer que pour tout $n\geq 0$, $|R_n|+|R_{n+1}|=u_{n+1}$. Calculer $v_{n+1}/v_n$ puis en déduire que $v_n\geq C u_n$ pour une constante $C>0$ bien choisie. Maintenant, $\ln\left(1+\frac1{n+1}\right)\leq \frac{1}{n+1}$, d'où $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$. Soit $\alpha\in ]1;\beta[$. On pose, pour $n\geq 1$,
C'est presque immédiat. |R_{n+1}|-|R_n|&=&(-u_{n+1}+2u_{n+2}-u_{n+3})+(- u_{n+3}+2u_{n+4}-u_{n+5})+\cdots\\
Puisque la série $\sum u_n$ converge, la convergence de $\sum f(n)$ équivaut à la convergence de $\sum_n \int_n^{n+1}f(t)dt$, c'est-à-dire à la convergence de la suite $\left(\int_1^n f(t)dt\right)$. D'après ce qui a été obtenu à la question précédente,
qui tend vers $0$. By using our site, you agree to our collection of information through the use of cookies. Il s'agit parfois d'un sujet de concours intégral , mais aussi parfois de sujet adapté à l'état d'avancement de mon cours. Soit $(a_n)$ une suite à termes positifs tels que $\sum_{n}a_n$ converge. $$u_n\leq C v_n$$
$$u_n=\frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-1)}{2\times 4\times\dots\times 2n}\textrm{ et }u_n=\frac 1n\times \frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-1)}{2\times 4\times\dots\times 2n}.$$. $$\sum_{n=2}^N \frac{u_n}{S_n^\alpha}\leq\int_{S_1}^{S_N}\frac{dt}{t^{\alpha}}\leq \frac{1}{(\alpha-1)S_1^{\alpha-1}}.$$
dès que $N$ est assez grand (disons $\frac{N_0}{N+1}S\leq\veps$). Ainsi, $f'$ est bien intégrable sur $[1,+\infty[$. \[\frac 12\sum_{k=1}^p u_k\leq T_n\leq C\]
$$\frac{u_n}{S_n^\alpha}=\frac{S_n-S_{n-1}}{S_n^{\alpha}}\leq \int_{S_{n-1}}^{S_n}\frac{dt}{t^\alpha}.$$
- 3 - Définition 1.3 : série télescopique Une série réelle ou complexe ∑un est dite télescopique lorsque son terme général peut se mettre sous la forme : ∀ n ∈ , u n = a n+1 – a n, où (a n) est une suite de réels ou de complexes. pour tout $k\leq q$. D'autre part, pour $N\geq N_0$,
D'après l'hypothèse, chaque terme $u_{2k+1}-2u_{2k+2}+u_{2k+3}$ est positif. \end{align*}
$$\frac{b_{n+1}}{b_n}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac 1n\right).$$, Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs telle qu'il existe $\beta\in\mathbb R$ avec
$$\sum_{k=n+1}^{2n}\sigma(k)\geq 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2\geq\frac{n^2}2.$$
le résultat de la première question. $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}\geq \frac1{4n^2}\sum_{k=n+1}^{2n}\sigma(k).$$
Puisque la série $\sum_n \frac 1n$ est divergente, il en est de même de $\sum_n u_n$. Application : étudier la nature de $\sum_n \frac{\sin(\sqrt n)}n$. $$0\leq I_n\leq \int_0^1 x^{n+1}dx=\frac 1{n+2}.$$
Les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. Ceci prouve que la série est convergente. De même, on a
\newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} Démontrer que la série numérique $\sum f(n)$ converge si et seulement si la suite $\left(\int_1^n f(t)dt\right)$ converge. et la suite $(v_n)$ tend vers 0. Prouver que si la série $\sum_n u_n$ est convergente,
Puisque $\sum_n b_n$ diverge, on déduit de la question 1 la divergence de $\sum_n a_n$ (on échange bien sûr le rôle joué par $(a_n)$ et $(b_n)$). \[\sum_{k=1}^p (u_k-u_n)\geq\sum_{k=1}^p\left(u_k-\frac 12u_k\right)\geq \frac 12\sum_{k=1}^p u_k\]
Fin du théorème C'est le cas par exemple pour la série entière ∑ n ≥ 1 z n n 2 {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n^{2}}}} . Majorer $|nv_n|$ par l'inégalité triangulaire puis utiliser que $\sum_n n|u_n|$ converge. A l'aide d'une comparaison à une intégrale, démontrer que pour tout $\alpha>1$, la série
Exercice 6 Trouver les coefficients de … Mais
en $+\infty$. $$f(n)=\int_n^{n+1}f(t)dt-u_n.$$
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac an+o\left(\frac1n\right).$$. \begin{eqnarray*}
même somme que la série de terme général $a_n$. a
Soit $(u_n)$ une suite positive et décroissante. et dans ce cas, les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ ont bien la même nature. Puisque α > 1, on a alors, pour n ≥ N, α 0 ≤ u ≤ u n. Puisque l’on travaille avec des séries à termes positifs, ceci entraine la n P α convergence de u. n ≥ 1 n 2. Vrai! Puisque la série $\sum_n 1$ diverge, il en est de même de $\sum_n u_n$. On suppose de plus que la suite $(u_n)$ vérifie les deux conditions suivantes :
Si $u_n$ ne tend pas vers 0, la série $\sum_n u_n$ diverge, la série $\sum_n \ln(1+u_n)$ aussi
Utiliser l'inégalité
On a utilisé si et . Calcul numérique. Démontrer que la série
To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser. on a $\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\leq 0$. Prouvons-le (en s'inspirant de la preuve
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac1n+o\left(\frac1n\right).$$
Intégrons entre $0$ et $1$ l'égalité obtenue précédemment. vers $+\infty$, que la série de terme général $v_n$ converge et que
On a
Puisque $(l-\varepsilon)>1$, la série $\sum_n (l-\varepsilon)^n$ est divergente. \veps$$
u_n&=&\frac{u_n}{u_{n-1}}\times\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\times\dots\times\frac{u_{n_0+1}}{u_{n_0}}\times u_{n_0}\\
Il suffit d'étudier la fonction. On a convergence par majoration (le terme général est positif). $$\left|\sum_{n=p}^q u_n\right|\leq \veps.$$
On suppose que la série à termes positifs de terme général u n est divergente et on pose S n = P n k=0 u k. Soit f: R+ → R+ une application continue décroissante. que si $N$ est assez grand, alors
&=&-\sum_{k=p}^{+\infty}(u_{2k+1}-2u_{2k+2}+u_{2k+3})
$$\int_1^n \frac{\sin{\sqrt t}}tdt=2\int_1^{\sqrt n}\frac{\sin u}{u}du.$$
$$\sum_{n=1}^N v_n=\sum_{n=1}^N \sum_{k=n}^{+\infty}u_k.$$
Soient $(u_n)$ et $(a_n)$ deux suites de réels strictement positifs. 18. Montrer que le produit $\prod_n \left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right)$ est divergent. Prouver que, pour tout $\alpha>1$, $\sum_n u_n^\alpha$ converge. On a, pour $n\geq 0$,
\begin{eqnarray*}
Il existe alors un entier $n_0$ tel que,
Elle se note S = +X∞ k=0 uk. EL EMENTS DE LOGIQUE { \tout nombre r eel positif est le carr e d’un nombre r eel" se traduit 8x 2 R+;9y 2 R;x = y2 Exercice 1.1.1 Traduire\il existe un nombre rationnel dont le carr e vaut deux". \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}.$$
$$a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}\geq A.$$
On en déduit que
Nous allons aussi voir la relation qui existe entre les séries et … $$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}.$$
$$\frac{1}{1+x}=1-x+\dots+(-1)^n x^n+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}.$$. Application : étudier la nature de $\sum_n \frac{\sin(\sqrt n)}n$. \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} Application : pour $|r|<1$, calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}nr^n$. Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels de limite nulle. $$\left|\sum_{n=1}^N \frac{a_1+\dots+n a_n}{n(n+1)}-S\right|\leq 3\veps.$$
)^2}\left(\frac 14\right)^n$. S'inspirer de la preuve que la série $\sum_n 1/n$ est divergente. On procède par récurrence sur $n$. On en déduit que
L'idée est qu'une fonction vérifiant une telle propriété décroit très vite vers 0 en $+\infty$, plus vite que n'importe quelle
Utiliser l'encadrement $0\leq \frac{x^{n+1}}{1+x}\leq x^{n+1}$ pour $0\leq x\leq 1$. Application 2 : étudier la convergence de $\sum_n u_n$ pour
)^2}\times\frac{4^n}{4^{n+1}}\\
Remarquons que, pour tout $x\in[0,1]$, on a
Exercice 2 : a) Déterminer par la méthode des trapèzes puis par celle de Simpson ∫ ( ) l'erreur relative dans chaque cas. En particulier, en notant $S=\sum_{n=1}^\infty a_n$, pour $N\geq N_0$, on a
Si ce n'est pas le cas, alors il existe $\veps>0$ tel que, pour tout entier $N\in \mathbb N$, on peut trouver
On prend la même suite $(a_n)$, et on observe que $\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\to\frac 1l-1>0$, et donc pour $n$ assez grand,
(et qui est donc forcément strictement positif car chaque terme est positif) tel que $p_n\to l$. On pose $v_n=\ln(nu_n)$ et $w_n=v_{n+1}-v_n$. $$\sum_{n=1}^{+\infty}(a_1\dots a_n)^{1/n}\leq e\sum_{n=1}^{+\infty}a_n.$$. \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} Centrale P’ 1996 Montrer que la série P … On en déduit que
a) la série de terme général un converge si et seulement si q ≥ p+2, b) la série de terme général (−1)nun converge si et seulement si q ≥ p+1. Perturber $(-1)^n/n$ par une série de Bertrand divergente. Chapitre 1 : Séries numériques Exercice 1.1. et $p$ est tel que $S_p\leq 2S_n$, $S_{p+1}>2S_n$. Par continuité
Alors on a
Les termes extrêmes de la somme sont les termes généraux de séries convergentes, mais pas le terme central, d'où la divergence. Mais, en effectuant le changement de variables $e^t=u$, de sorte de $e^t dt=u\implies dt=du/u$, on trouve
Il faut prouver que $\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right)$ est le terme général d'une série divergente. Si $k>N$, il apparait $N$ fois. On a alors, pour tout $n\geq n_0$ :
On suppose
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. D'après la question précédente, on a
on a $\sum_{k=0}^K 2^k u_{2^k}\leq M$. Mettant à la puissance $b$, on a
$$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}\geq \frac18.$$
Puisque la série de terme général $v_n$ diverge (cette fois, $b<1$), la série de terme général $u_n$ diverge. Faux! Posons $u_n=\frac{1}{n(\ln n)^b}$ dont on rappelle qu'elle converge si et seulement si $b>1$. de $\int_1^{+\infty}f(e^{-t})dt$ et celle de $\sum_n v_n$ à la convergence de $\int_1^{+\infty}\frac1tf\left(\frac 1t\right)dt.$
Par minoration de séries positives, la série $\sum_n b_n$ diverge. Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positive. On en déduit le résultat demandé. On va conclure par la règle de Kummer en utilisant à chaque fois $a_n=n$. En effet, on a, pour tout $n\geq p$,
$$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\left(1+\frac 1n\right)^{-\alpha}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac 1n\right).$$. On a
Faites-le (en traitant d'abord les restes partiels)! Pour cela, on calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ :
La série de terme général un est dite divergente dans le cas contraire. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. Soit $p\geq n$ tel que $S_p\leq 2S_n$ et $S_{p+1}>2S_n$. Puisque la série $\sum_n u_n$ converge, il existe un entier $N_1$ tel que, pour tous $q\geq p \geq
Comparer $u_n$ et $v_n$. Pour $n>n_0$, on a $0\leq u_n\leq 1$ et donc $0\leq u_n^2\leq u_n\leq 1$. On suppose que $\sum_n u_n$ diverge. Par comparaison (les séries sont à terme positif), la série de terme général
On prouve ensuite que la suite
A l’aide d’une série télescopique, montrer la convergence et calculer la somme de la série − 2 1 ln 1 n. 4. En effet, on a
Démontrer que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature. Par le théorème des gendarmes, la suite $(I_n)$ tend vers 0. Construire $b_k$ pour $k\in[p_n,p_{n+1}[$. Si la série de terme général un converge, la somme de la série est S = lim n→+∞ Sn = lim n→+∞ Xn k=0 uk. est convergente. Pour les deux séries, la règle de d'Alembert ne permet pas de conclure car on est dans son cas litigieux où le quotient
positive qui tend vers 0, et la série $\sum_n a_nb_n$ est divergente, puisqu'on a
$$f(n)=\int_n^{n+1}f(n)dt.$$. des séries $\sum_n g(n)$ et $\sum_n h(n)$ sont équivalentes respectivement à la convergence des intégrales impropres $\int_1^{+\infty}g(t)dt$
Démontrer que la suite $(|R_n|)$ est décroissante. Le produit infini est convergent s'il existe un réel $l\neq 0$
La série numérique ( ) converge (c’est une série de Riemann avec ) Donc la série est dérivable en tout point de [ ](donc sur ) et (∑) ∑ ( ) Allez à : Exercice 6 Correction exercice 7. $$0<1\leq 1+x\leq 2\implies \frac 12\leq \frac{1}{1+x}\leq 1.$$
On a alors : u:n\longmapsto2n. \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} Autrement dit, les deux suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\ell$. Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs telle que $\sum_n u_n$ diverge. Faire un développement limité du logarithme. Comparer à une intégrale $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$ en écrivant $u_n=S_n-S_{n-1}$. \begin{eqnarray*}
est la nature de la série de terme général $b_n$? Autrement dit, on a $u_q\geq\veps/q$. $$\forall n\geq0,\ u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\geq 0\qquad\textrm{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1.$$. Or la série $\sum_n \frac 1{a_n}$ est divergente et à termes positifs. On suppose qu'il existe $l\in\mathbb R$ tel que
On a $0\leq \frac{b_N}{a_N} a_n \leq b_n$ et la série $\sum_n a_n$ diverge. (extrait de BibMath.net) La vie de Niels Abel, mathématicien norvé-gien est marquée par la pauvreté. Si $(-1)^n n u_n\to 1$, la série $\sum u_n$ converge. Posons $f(t)=\frac{\sin(\sqrt t)}t$. Séries numériques G. GRABOVOI ® pour la normalisation de la santé. }$ est décroissante. Ainsi, supposons que $\sum_k 2^k u_{2^k}$ est convergente, et soit $M$ tel que, pour tout $K$,
Les fonctions $x\mapsto f(e^{-x})$ et $x\mapsto \frac1xf\left(\frac 1x\right)$ sont décroissantes. Exprimer $\sum_{n=1}^N v_n$ en fonction de $\sum_{n=1}^N nu_n$, et d'un autre terme. Supposons à nouveau que $n=2p$ est pair. Le cas $a=1$ est bien un cas limite. \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} vers un réel. Au contraire, supposons maintenant que $l<1$ et, dans un premier temps, $l\neq 0$. Prouver que la série de terme général $\frac{a_1+2a_2+\dots+n a_n}{n(n+1)}$ converge et est de
Supposons d'abord $a>1$, et prenons $b\in ]1,a[$. En déduire que la série n≥0 un converge et préciser sa somme. $\prod_n(1+u_n)$ converge lorsque la suite de terme général $\prod_{k=0}^n (1+u_k)$ admet une limite
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